Due problemi con studi di funzione e otto quesiti sono i contenuti della seconda prova per i ragazzi del Liceo Scientifico. Gli otto quesiti riguardano i temi della geometria, equazioni e funzioni.
Ecco quindi il commento dei tutor di Skuola.net che hanno analizzato la prova di matematica.
Problema 1
Il primo problema riguarda lo studio di una funzione con due parametri. Si tratta di un problema standard per la seconda prova di matematica, di difficoltà normale. Nel primo punto c’è bisogno di trovare l’equazione di una retta tangente al grafico della funzione. Successivamente, bisogna svolgere lo studio di funzione una volta fissati i parametri e ancora lavorare sulle rette tangenti e le loro intersezioni con il grafico della funzione. Infine, tramite un integrale definito bisogna trovare l’area compresa tra il grafico della funzione e alcune rette caratteristiche (un asintoto obliquo e una delle tangenti trovate precedentemente).
Problema 2
Il problema 2 appare abbastanza insidioso: non è mai così semplice trovare i punti di non derivabilità di una funzione. Risulta interessante notare come non venga chiesto di studiare una funzione in particolare, bensì un insieme di funzioni definite da un insieme di parametri. Questo rende il problema particolarmente insidioso. Inoltre, per la risoluzione dell’ultimo punto è necessario conoscere la nozione di primitiva e saper calcolare l’area compresa tra delle curve.
Quesito 1
Si tratta di un problema dimostrativo di geometria euclidea, che non richiede necessariamente conoscenze di livello trigonometrico per farlo. Una cosa a cui bisogna fare attenzione è la presenza del “se e solo se”, che richiede di dividere la dimostrazione in due parti. Il quesito risulta di difficoltà media.
Quesito 2
Questo quesito riguarda il calcolo della distribuzione della probabilità in caso di prove ripetute e non dipendenti con soli due risultati possibili (distribuzione di Bernoulli). Il secondo punto rappresenta un problema di ottimizzazione, il quale prevede l’applicazione della derivata prima rispetto a p della funzione e del calcolo dei punti di massimo (derivata uguale a 0). Data la varietà di nozioni necessarie per lo svolgimento, il quesito è di difficoltà medio-alta.
Quesito 3
Problema di geometria nello spazio di media difficoltà. Per la risoluzione è necessario conoscere le nozioni di proiezione ortogonale di un punto su un piano data la sua equazione e bisogna essere in grado di trovare una intersezione tra una retta e un piano entrambi scritti in forma cartesiana.
Quesito 4
Quesito sulle caratteristiche delle funzioni continue, nozioni relative ai principali teoremi (teorema esistenza degli zeri), bisogna dimostrare l’esistenza e unicità della soluzione. Il quesito è difficoltà media.
Quesito 5
Si tratta di un quesito in cui bisogna tradurre le condizioni sulla funzione e sulla sua derivata prima al fine di creare un sistema di equazioni di primo grado per individuare l’espressione dell’equazione. Bisogna, anche, conoscere la definizione di punto stazionario. Il quesito è difficoltà media.
Quesito 6
Il quesito riguarda la risoluzione di un integrale definito tra una variabile il cui valore viene assegnato successivamente e un parametro ‘a’ del quale deve essere ricercato il massimo valore secondo la condizione F(2x)=-12. La funzione integrale può essere risolta ricorrendo all'uso dell'integrale notevole:
cos[f(x)]*f'(x) dx= sin[f(x)]
Il quesito appare abbastanza insidioso, di difficoltà medio-alta.
Quesito 7
Per risolvere il quesito è fondamentale avere delle conoscenze di geometria analitica, non è essenziale conoscere le leggi di Keplero ma può aiutare nella risoluzione. Infine, conoscere l’equazione dell’ellisse e soprattutto come ricavarla partendo dai semiassi (maggiore e minore che corrispondono ad afelio e perielio). Il quesito è di difficoltà media.
Quesito 8
Il quesito in questione richiede di trovare il rapporto tra l’apotema di un esagono e il raggio della circonferenza circoscritta ad esso; si possono usare diversi approcci, per esempio un approccio di tipo trigonometrico. Nel complesso, il quesito è di difficoltà presunta medio-bassa.